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正交化公式(14、范数、内积、归一、正交化、标准正交(Schmidt化))

2024-01-01 14:31:38

  欧式空间(欧几里德空间)(Euclid空间),

  备注:线性空间包含向量空间,但,向量空间却不完全是线性空间,如果给寻常的向量空间添加长度和夹角的定义,那么这个空间就“进化”为欧式空间,欧式空间不是向量空间,是线性空间中的一种特殊表达。

  那么在线性空间或者说欧式空间中,向量的长度即“范数”。长度又有说法:"模"。

  有内积的空间,不是向量空间,是欧式空间。内积为一个数,用[x,y]表示,这个数的开平方是向量长度,开平方后就是“范数”,

  而“范数”也是一个数,是向量长度。“范数、模、向量长度”三者说法等同。

  再强调,范数的2次方的数字,就是内积的数字。

  范数的数学符号:|| X || (X为x或y等等代表向量的数学符号)。图1该图片为另一本书,备注范数的解释。备注图A图2

  下图为规范正交基,

  “规范正交基”即为:“标准正交基”,求任意基。

  Schmidt过程就是进行标准正交基。Schmidt(施密特)。

  标准正交基的处理过程为:先正交化,后归一化。(公式在之后的图片)

  归一化即单位化。

  正交基a 不等同于 标准正交基e ,标准正交基的K倍为正交基a,都是空间的基,只不过可以理解为一个是标准正交基【1,2,1】,一个是正交基【4,8,4】,即K=4倍。

  特别特别注意:求正交基,并非是正交化!正交化后的矩阵为正交基矩阵。

  下图为求正交基:即求正交向量的基,而对正交向量的基求正交的另一个向量,最后组成的矩阵就是正交化后的矩阵。意:正交化后的矩阵就是正交基。但这里无需正交化,因为已是正交向量。图3图4

  上图有正交化定义。Schmidt正交化公式,Schmidt(施密特公式)是一个包含正交化和归一的过程,这里特指它的正交化部分。

  下图上面为归一化公式。要归一化(单位化),必须先正交化。(正交化后求出的是正交基,而正交基要需要再去归一化,结果才为标准正交基。)

  下图下面为求任意基,标准正交基,规范基,Schmidt过程。图5正交化公式图6

  上图由三列列向量e1、e2、e3所组成的矩阵为标准正交矩阵Q,也称为正交矩阵Q、正交阵Q。

  备注一个:下图为"正交基"和"标准正交基"的数学严谨定义比较:(此图可略过阅读。和上面那些写的一样。只不过更精简。)图~

  特别注意:以上所有正交化、归一化、标准正交、施密特公式的前提都是原矩阵内向量组为线性无关向量组。

  “标准正交基”就是对矩阵的列向量(基)做“正交化”和“单位化(归一化)”。

  正交变换:如果A为正交阵,则Y=AX定义的线性空间 R^{n} 上的线性变换称为正交变换。

  做单位化即做归一化,做归一化要么基于它是正交基矩阵为前提,要么就需要做正交化。

  什么时候要做正交化:

  要求矩阵为正交矩阵的时候。(做正交化后是正交基矩阵,不是正交矩阵。但正交矩阵一定得先做正交化,再做归一化。)

  正交矩阵A:(正交矩阵是标准正交基后的结果。也就是正交矩阵包含正交化和归一化。)正交矩阵,一定是方阵!A^{T}=A^{-1} (A为正交阵,A逆、A转、-A、A*都是正交阵)A^{T}A=I,AA^{T}=I 矩阵A内不同列两两内积为0,两两正交|A|=1或者-1两个正交阵的乘积仍为正交阵(因为正交阵一定是规范正交基矩阵,所以这三个正交阵一定是各自代表不同基的三个子空间。)

  额外注意:矩阵内不同列内积为0的A1矩阵不是正交矩阵A2,这个A1矩阵是正交基矩阵,不是正交矩阵,还要继续做单位化才是正交矩阵。正交矩阵包含正交化和归一化。

  注:正交矩阵就是使内积不变的线性变换,亦称为正交变换。

  (另外:正交矩阵的特征值的绝对值等于1。)

  正交矩阵和规范正交基矩阵的关系:

  正交矩阵内的行向量组或者列向量组一定是规范正交基,所以正交矩阵一定是规范正交基矩阵,

  但,

  规范正交基矩阵不一定是正交矩阵,因为规范正交基矩阵不一定是方阵,而正交矩阵一定是方阵。规范正交基矩阵包含了正交矩阵。

正交化公式(14、范数、内积、归一、正交化、标准正交(Schmidt化))

  备注:规范正交基矩阵,还是,规范正交矩阵,加不加“基”字都无所谓吧,正确的说法是标准正交矩阵。但表达的意思都是一样的,因为为了避免将正交矩阵和规范正交矩阵混乱,(相比加过规范或者标准两个字的,从文字上看,我们还以为正交矩阵是没有做过归一化呢,所以为了避免这种错误的认为,我将规范正交矩阵叫做规范基正交矩阵- -)

  为什么不喜欢说是标准正交矩阵而老说规范正交矩阵:

  因为用一种方法叫标准化啊,emmmmmmm,但标准化和归一化完全不同啊喂。所以嘛,叫标准正交矩阵我总错觉觉得想到它做过标准化了。。。。

  “方阵的正交矩阵A”和“非方阵的规范正交基矩阵Q”的比对:

  (以下重点观察的是正交矩阵定义5个性质中的性质3的区别:)

  当不是方阵时,为规范正交基矩阵,性质3中, Q^{T}Q=I ,但不满足 QQ^{T}=I

  当是一个方阵时,为正交矩阵,性质3为, A^{T}A=IAA^{T}=I

  所以一个矩阵可以说既是规范正交矩阵,同样是正交矩阵;也可以说是规范正交矩阵,但不是正交矩阵;但说一个矩阵是正交矩阵,一定是规范正交矩阵(标准正交矩阵)。

  单位化的意思:(注意这里我用单位化而不说归一化)

  即是矩阵单位化后,矩阵内的每一个列向量的长度(范数)都为1。

  备注:不是分量为1,而是范数为1.

  归一化中分量的特点:(注意这里我用归一化而不说单位化)

  通过对原始数据进行变换把数据映射到默认为[0,1]之间(0到1之间,包含0、1)。

  数学中的归一化和机器学习中的归一化一样。

  单位化和归一化的比较:

  1、两者是同样的。

  2、单位化的意义更多指的是数学上作为一个基础单位,最小单位而言的意义。

  3、而归一化的意义更多指的是应用层上将一组复杂的数据同一化,比如对一个大学老师的评价,A班学生给出的平均分段是在60-70之间,而B班学生给出的平均分段是在20-50之间,C班学生给出的平均分段是在70-75之间,那么不同价值观不同认识起点不同比较对象给原始对象的值不同,但你不能认为给“60-70分的学生对老师的教学认可”比给”70-75的学生对老师的教学认可”差,也不能认为给20-50分距离60-70分之间的差距是20-40分之间,也许差距仅仅只有10分,但不能否认的是确实认可评分差距实际在10分的差距,却在最后的差距上是20-40分之间的差。基于此复杂的数据,我们可以用归一化来解决数据上的不同差距。将它们映射在0到1之间,即意思为出发点一致,评判标准一致,映射在同等差距比较同等认知同个起跑线的范围内。之所以说归一化而不是单位化是因为这是一种把特征缩放到给定范围的思路。纵然归一化就是单位化,两者是一样的。

  验证矩阵是否是正交阵的方法:

  方法1:通过利用正交阵的性质5,|A|=1或者-1,求行列式。

  方法2:求每一个行向量或者列向量的范数(向量长度),若每个范数都=1,即满足单位化,其行向量组或列向量组是单位正交组,所以就是正交阵;反之,若有一个不等于1,就不是正交阵。

  例题:图~

  学习 矩阵单位化 或 将 矩阵转为标准正交矩阵 在数学中的 用处:

正交化公式(14、范数、内积、归一、正交化、标准正交(Schmidt化))

  (下图有一个地方写错了,第四行的“若A的矩阵为正交矩阵时”,应该改为“若A的矩阵为标准正交矩阵时”,因为我们不知道是否是方阵,所以先讨论大范围的标准正交矩阵,若是方阵就为正交矩阵,若不是方阵就只能是标准正交矩阵了。)正交化公式

  本章图片引用正交化公式来源:

  图1-6:《矩阵论札记》科学出版社

  备注图A:《线性代数》清华大学出版社

  图~:《线性代数》科学出版社

 正交化公式 科学出版社的东西真是好评正交化公式。

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